我姑姑上个月的试管宣告失败，她今年42岁了，医生说她卵子质量实在是不太好，都已经做了3次试管还是不行。医生说如果想要孩子可以选择做供卵，但是公立医院需要排很久的队。我姑他们和家里人商量了一下，都同意了。最后就打算2023年去长沙私立机构去做供卵，但是不知道国内做供卵试管的正规医院的流程是怎样的，和公立相比会不会快一点好一点？